三维有限元分析腰骶椎结构的动态特性

doi:10.3969/j.issn.2095-4344.2017.15.017

中国组织工程研究 ›› 2017, Vol. 21 ›› Issue (15): 2388-2394.doi: 10.3969/j.issn.2095-4344.2017.15.017

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三维有限元分析腰骶椎结构的动态特性

武晓丹¹，张顺心¹，范顺成¹，李晔²，贾少薇¹，谢俊德¹，韩立^3，4

¹河北工业大学机械学院，天津市 300130；²中国医学科学院北京协和医院，北京市 100005；³天津医科大学医学影像学院，天津市 300203；⁴美国密歇根大学安娜堡分校医学院，美国 48105

出版日期:2017-05-28 发布日期:2017-06-07
通讯作者: 韩立，副教授，天津医科大学，天津市 300070 张顺心，教授，硕士生导师，河北工业大学，天津市 300130
作者简介:武晓丹，女，1990年生，河北省石家庄市人，汉族，2017年河北工业大学毕业，硕士，主要从事脊柱的生物力学方面的研究。
基金资助:
天津市应用基础与前沿技术研究计划资助项目(13JCYBJC41200)

Dynamic characteristics of the lumbosacral vertebrae based on three-dimensional finite element models

Wu Xiao-dan¹, Zhang Shun-xin¹, Fan Shun-cheng¹, Li Ye², Jia Shao-wei¹, Xie Jun-de¹, Han Li^{3, 4}

¹School of Mechanical Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300130, China;²Peking Union Medical College Hospital, Chinese Academy of Medical Sciences, Beijing 100005, China; ³School of Medical Imaging, Tianjin Medical University, Tianjin 300203, China; ⁴Medical College, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan 48105, USA

Online:2017-05-28 Published:2017-06-07
Contact: Han Li, Associate professor, School of Medical Imaging, Tianjin Medical University, Tianjin 300203, China; Medical College, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan 48105, USA Zhang Shun-xin, Professor, Master’s supervisor, School of Mechanical Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300130, China
About author:Wu Xiao-dan, Master, School of Mechanical Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300130, China
Supported by:
the Application Basic and Advanced Technology Research Program of Tianjin City, No. 13JCYBJC41200

摘要/Abstract

摘要：

文章快速阅读：

文题释义：

模态分析：模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。通过模态分析方法可以得到结构物在某一易受影响的频率范围内的各阶主要模态的特性，就可以预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下产生的实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备故障诊断的重要方法。

谐响应分析：用于确定线性结构在承受随时间按正弦(简谐)规律变化的载荷时的稳态响应，分析过程中只计算结构的稳态受迫振动，不考虑激振开始时的瞬态振动，谐响应分析的目的在于计算出结构在几种频率下的响应值(通常是位移)对频率的曲线，从而使设计人员能预测结构的持续性动力特性，验证设计是否能克服共振、疲劳以及其他受迫振动引起的有害效果。

摘要

背景：有文献对人体正常脊柱腰骶椎进行了固有模态分析及谐响应分析，但尚未有研究涉及对比椎弓根螺钉内固定前后腰骶椎的固有模态分析及谐响应分析。

目的：采用三维有限元方法探讨人体腰骶椎的动力学特性。

方法：基于CT扫描图像建立并验证经椎弓根螺钉系统内固定前后腰骶椎L₁-S₁节段有限元模型，然后对固定前后腰骶椎模型分别进行有限元模态分析和谐响应分析。

结果与结论：①在腰骶椎模型的腰椎L₁，L₃，L₅节段棘突处选取代表性节点，节点编号分别为A，B，C；②内固定后腰骶椎模型的各个节点在Y，Z方向上位移最大峰值比正常腰骶椎模型位移最大峰值均明显减小，表明螺钉内固定系统对腰骶椎部分起到了保护作用，使得固定后的腰骶椎在受到外界激励时振幅减小，对外界激励的敏感性减弱；③腰骶椎的模态分析是进一步进行动力学分析的基础，确定了腰骶椎的固有频率、振型和振幅等振动参数。通过谐响应分析研究简谐载荷对人体脊柱腰骶椎L₁-S₁节段的影响，对于腰骶椎的振动特性分析方面具有重要意义。

中国组织工程研究杂志出版内容重点：人工关节；骨植入物；脊柱；骨折；内固定；数字化骨科；组织工程
ORCID: 0000-0002-2449-3124(武晓丹)

关键词: 骨科植入物, 数字化骨科, 有限元, 生物力学, 振动, 腰骶椎, 模型, 内固定系统, ABAQUS, 模态分析, 动力学, 谐响应

Abstract:

BACKGROUND: Inherent modal analysis and harmonic response analysis on the human normal lumbosacral vertebrae have been reported, but there is a lack of comparative research on their modal analysis results before and after pedicle screw fixation.

OBJECTIVE: To explore the dynamic characteristics of human lumbosacral vertebrae using three-dimensional finite element method.

METHODS: Finite element model of lumbosacral vertebrae (L₁-S₁) before and after pedicle screw fixation was developed and validated based on CT images, and the modal analysis and harmonic response analysis were then conducted.

RESULTS AND CONCLUSION: (1) Representative nodes were selected at the spinous process segments of L₁, L₃ and L₅, and numbered as A, B, and C, respectively. (2) The maximum displacement of each node in Y and Z directions of lumbosacral vertebral model after internal fixation was significantly decreased compared with those of the normal lumbosacral vertebral model, suggesting that screw fixation system plays a protective role in lumbosacral vertebrae, and reduces its amplitude under external load, thus diminishing its sensitivity to external load. (3) The lumbosacral vertebral modal analysis can provide basis for further study on dynamic analysis, and the parameters such as natural frequency, modal shape and vibration amplitude of the lumbar spine have been determined.

中国组织工程研究杂志出版内容重点：人工关节；骨植入物；脊柱；骨折；内固定；数字化骨科；组织工程

Key words: Lumbar Vertebrae, Internal Fixators, Biomechanics, Finite Element Analysis, Kinetics, Tissue Engineering

中图分类号:

R318

武晓丹，张顺心，范顺成，李晔，贾少薇，谢俊德，韩立. 三维有限元分析腰骶椎结构的动态特性[J]. 中国组织工程研究, 2017, 21(15): 2388-2394.

Wu Xiao-dan, Zhang Shun-xin, Fan Shun-cheng, Li Ye, Jia Shao-wei, Xie Jun-de, Han Li . Dynamic characteristics of the lumbosacral vertebrae based on three-dimensional finite element models [J]. Chinese Journal of Tissue Engineering Research, 2017, 21(15): 2388-2394.

图/表（结果） 2

2.1 固定前后腰骶椎有限元模态分析 对腰骶椎结构的模态分析可以得到腰骶椎的固有振动特性即固有频率及其振型，在此基础上可以进一步分析腰骶椎结构在外界激励下的响应。约束骶椎下表面的全部自由度，分别提取固定前后腰骶椎的前10阶模态，计算结果见表4。

由表4可知，内固定后腰骶椎模型的前3阶固有频率要稍微大于正常腰骶椎模型的固有频率，内固定后腰骶椎模型的第4-10阶固有频率要明显小于正常腰骶椎模型的固有频率。

人体脊柱腰骶椎的固有频率和振型直接影响到它在遭受外界载荷时的动态响应，为避免发生共振，应尽量使人体所处环境的外界振动频率远离腰骶椎固有频率。

一些研究表明人体严重的振动响应均在30 Hz以下，对于腰骶椎模态分析结果前三阶模态具有实际意义，图2，3分别为正常腰骶椎、内固定后腰骶椎的前3阶模态振型。图中的振型变化大小只是一个相对值，反映在某一频率下的振动情况，并不反映实际振动位移变化。通过观察变形动画，调节位移放大比例，可以观察每一阶模态腰骶椎变形情况。

由模态振型描述可知，低阶振型比较简单，叠加现象不明显，但对腰骶椎整体结构动态特性影响较大。随着频率的增加，振型越来越复杂。通过分析各阶振型，可知正常腰骶椎及内固定后腰骶椎的一阶振型均表现为整体的前后俯仰振动，L₁后部结构棘突处振动最大；二阶振型均表现为整体向左弯曲振动，L₁后部结构变形较大；三阶振型均表现垂向拉伸振动，L₁后部变形最大；第4-10阶振型则表现为相对复杂的振动。由上可知，前3阶的最大振动均发生在L₁椎体后部，表明L₁椎体后部对外界振动较敏感，而且高阶振型比低阶振型复杂，这与实际的脊柱生物力学理论知识相符合。由模态分析得到的腰骶椎结构每一阶的固有频率和振型对避免腰骶椎与外界环境发生共振具有重要意义。

2.2 稳态动力学分析 对腰骶椎结构进行稳态动力学分析是腰骶椎结构受到谐波激励下的稳态响应，通过稳态动力学分析，可以了解简谐载荷对人体腰骶椎结构的影响。

将激励力为10 N垂直施加在L₁上表面，约束骶椎下表面的全部自由度使其固定，以模拟人体上身振动对腰骶椎的影响。并根据模态分析结果选取频率范围为0-5 Hz。

根据腰椎解剖结构特点分别在正常腰骶椎模型和内固定后腰骶椎模型的腰椎L₁，L₃，L₅节段棘突处选取代表性节点，节点编号分别为A，B，C，通过计算，获得选取节点X，Y，Z 三个方向的振动幅值随频率变化情况，如图4-6所示。图中横坐标为简谐载荷的频率，单位为Hz，纵坐标表示节点的振动幅值，单位为mm。

图4-6分别为两种不同腰骶椎模型的腰椎L₁，L₃，L₅棘突处节点A，B，C位移对频率的响应曲线，比较各个模型的腰椎棘突处3个节点A，B，C在各个方向上的位移最大峰值，可知节点A处位移最大峰值最大，节点B处位移最大峰值次之，节点C处位移最大峰值最小。表明腰骶椎模型的位移峰值从上往下逐渐减小。

由图可知内固定后腰骶椎模型的节点A，B，C在X方向上的位移最大峰值比正常腰骶椎模型位移最大峰值都要稍微增大，但在Y，Z方向上位移最大峰值比正常腰骶椎模型位移最大峰值均明显减小。表明螺钉内固定系统对腰骶椎部分起到了保护作用，使得固定后的腰骶椎在受到外界激励时振幅减小；正常腰骶椎模型在1.0-2.0 Hz频率范围内各节点X，Y，Z方向位移均出现峰值，表明该腰骶椎结构对1.0-2.0 Hz频率范围比较敏感，这分别与模态分析得到的第一阶振型的前后俯仰模态固有频率1.33 Hz和第二阶振型的侧向俯仰模态固有频率1.65 Hz相近；内固定后腰骶椎模型在1.0-2.0 Hz频率范围内各节点X，Y，Z方向位移均出现峰值，表明该腰骶椎结构对1.0-2.0 Hz频率范围比较敏感，这分别与模态分析得到的第一阶振型的前后俯仰模态固有频率1.57 Hz和第二阶振型的侧向俯仰模态固有频率1.86 Hz相近；表明这两种腰骶椎结构在这些频率范围内容易产生共振，为避免发生共振，应尽量使人们所处环境的外界振动频率远离腰骶椎固有频率。

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引言

腰椎是人体传导重力的重要机构，自L₁顺序而下椎体逐渐增大，发病率逐渐增高，呈塔形分布，椎管横截面积逐渐变小，椎间盘荷载由小到大。其中以L₅-S₁为应力集中节段，该处椎间盘厚，活动范围较大，容易受到损伤。长期以来，振动一直被认为是影响脊柱健康的重要危险因素。有研究报道，曝于振动环境中的人产生背痛的概率比平常人普遍要高1.4-9.5倍。长期性振动载荷作用于腰椎将引起机械损伤、椎间盘退化和脊柱畸形^[1-4]。中国是劳动密集型社会，体力劳动者数量庞大，脊椎类疾病的防治与治疗更应受到社会的重视。

人体处于汽车、飞机等振动环境时，腰椎会随着外界环境的激振产生持续时间较长的衰减振动引起疾病。有关振动引起的危害和脊柱的累积损伤已开展了大量的实验研究、有限元数值模拟分析^[3-11]。在有限元仿真方面^[12-20]，用于振动分析的有限元模型有线性和非线性模型、单节段和多节段模型^{[1, 21-23]}。单节段腰椎模型对全身振动引起的腰椎临床相关生物力学参数的预测具有局限性。此外，关于腰椎模态分析的研究多集中在受损腰椎的情况^{[5, 24]}，尚未有研究涉及对比椎弓根螺钉内固定前后腰骶椎L₁-S₁节段的固有模态分析及谐响应分析。

文章在以往的研究基础上，建立腰骶椎L₁-S₁节段的后路经椎弓根螺钉内固定前后的三维有限元模型^[25-31]，利用有限元分析软件ABAQUS分别对固定前后腰骶椎模型进行模态分析和谐响应分析^[31-35]，确定腰骶椎的固有频率、振型和振幅等振动参数，并通过谐响应分析研究简谐载荷对人体脊柱腰骶椎L₁-S₁节段的影响，将分析结果进行比较，这对于腰骶椎的振动特性分析等方面具有重要意义。

中国组织工程研究杂志出版内容重点：人工关节；骨植入物；脊柱；骨折；内固定；数字化骨科；组织工程

材料方法

1.1 设计 有限元模拟仿真试验。

1.2 时间及地点 于2014年10月至2016年10月在河北工业大学实验室完成。

1.3 材料

主要仪器：General Electrics 64层螺旋CT机。

软件：医学图形处理软件MIMICS 16.0、逆向工程软件GEOMAGIC 12.0、三维建模软件SolidWorks和有限元分析软件ABAQUS6.12-3。

1.4 方法

1.4.1 腰骶椎后路螺钉内固定前后的模型建立使用螺旋CT对1例30岁健康女性志愿者的脊柱进行连续的横断面扫描，扫描范围T₁₂-S₁，扫描层厚度0.625 mm；将DICOM格式的图像数据导入三维重建软件Mimics 16.0，根据已选取的CT图像中不同组织的灰度值，通过阈值划分来提取相应的组织，建立腰骶椎的三维实体模型。将模型进行表面光滑优化处理，使模型更加准确；将生成的腰骶椎三维有限元模型导入Mimics中的3-matic模块中建立与上下椎体紧密贴合的椎间盘模型。根据医学解剖结构，将椎体分为皮质骨、松质骨和椎体后部三部分，椎间盘分为上终板、下终板、髓核和纤维环四部分；然后对每一部分分别进行体网格划分，生成各部分的三维四面体单元。

利用SolidWorks三维建模软件系统，模拟XIA脊柱内固定系统(美国STRYKER公司)，包括10枚椎弓根螺钉 (4.5 mm×60 mm)、2枚连接棒(6.0 mm×300 mm)；将钉棒系统以STL文件格式输入Mimics软件，在三维视窗下，组装腰椎和钉棒系统。按腰椎后路椎弓根内固定的手术确认骨钉和连接棒的位置。其中腰椎植入螺钉的进针点在上关节突外缘的切线与横突平分线的交点位置，螺钉向中心倾斜5°-10°，如图1所示。然后对装配好的腰骶椎部分和螺钉部分进行布尔减运算，使腰骶椎模型中出现安装螺钉所需要的孔道。最后在Mimics软件中对模型赋予材料属性后将其以inp格式输出到有限元分析软件Abaqus6.12-3中进行相关问题的计算。模型各组成元件的材料和性质：本研究采用的材料属性是大多数研究者公认的经过验证的数据^[2]。正常脊柱腰骶椎各部位的材料属性如表1所示。

椎体之间靠韧带连接，本研究用线性张力弹簧模拟出前纵韧带、后纵韧带、黄韧带、棘上韧带、棘间韧带、横突间韧带等主要韧带，定义弹簧刚度=弹性模量×横截面积÷平均长度，各韧带结构的参数采用大多数文献公认的数据如表2所示^[36]。

脊柱内固定系统的钉棒材质均为Ti6AI4VELI(钛合金)，参数采用大多数文献公认的数据^[37-39]，其中椎弓根螺钉和连接棒的弹性模量均为104 800 MPa，泊松比均为0.33。

模型的有效性验证：有限元模型有效性验证的常用方法有力-位移曲线的比较和力矩-旋转角度曲线的比较^[21^，^40]。但由于不同作者实验时所加载的力或力矩大小不同，导致实验所得位移值或角度值不一样，实验结果可比性差。因此，平均刚度值的可比性更强，用平均刚度值来验证有限元模型的有效性更科学。平均刚度值的计算方法是加载的力矩除以该力矩方向上的角位移。实验在L₁-S₁节段施加10 N•m的力矩，通过计算，本模型在前屈、后伸、侧屈、扭转作用下的平均刚度分别为1.11，2.25，2.18， 3.70 N•m/(°)。

董凡等^[41]用L₁-L₂、L₃-L₄各1个，L₂-L₃、L₄-L₅、L₅-S₁各2个，共8个FSU进行测试，加载10 N•m的力矩；Heth等^[42]用14个L₂-S₁节段施加6 N•m的力矩；Yamamoto等^[43]用10个全腰段标本，加载10 N•m的力矩。在前屈、侧屈和扭转力矩作用时，本模型的平均刚度小于董凡和Yamamoto的模型，而大于Heth的模型；在后伸力矩作用时，本模型的平均刚度小于Heth的模型。从每一种加载方式看，实验的刚度值基本处于中间位置，见表3。所得平均刚度值和尸体实测法所得结果基本符合。因此，本实验所建立的腰骶椎三维有限元模型是有效的。

边界条件和载荷：考虑人体上身质量对腰骶椎的动态特性的影响，将一个简化的50 kg质量加到腰椎L₁的上表面，约束骶骨底面上平移和转动的6个自由度。椎骨与椎间盘的上下终板之间，椎间盘各分块之间，骨钉和椎骨的钉道之间的接触关系均为绑定tie，上下关节突之间定义为面与面的有限滑动接触，摩擦系数为0.2。

1.4.2 模态分析的理论基础模态特性分析可以确定腰骶椎结构的自振频率和相应振型。脊柱具有固有频率，应尽量避免使外激励频率接近其固有频率，降低共振可能性，减小振动幅值。而各阶固有频率都有对应一个固有振型，准确计算出结构固有振型对于了解不同外界激励作用下的振型具有重要意义。目前最常用的模态分析方法包括：子空间迭代法(subspace iteration)和分块Lanczos方法(Block Lanczos)。使用何种模态提取方法主要取决于模型的大小(相对于计算机计算能力而言)和具体的应用场合。当模型的规模较大，且需要提取多阶振型时，Lanczos方法的速度更快。本文选择分块Lanczos法进行腰椎模态分析。

模态计算是分析动力响应和其他动力学特性问题的基础。如果忽略阻尼的影响，则多自由度无阻尼振动系统的运动微分方程为：

在自由振动时，结构中各节点的振幅{X₀}不全为0，故式(4)括号内的矩阵行列式之值必须为0，即：

结构的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]都为n阶方阵，n为节点自由度数目。因此，式(5)是关于ω²的n次代数方程。由此，可以求出结构的n个固有频率。对每一个固有频率，可以根据式(4)确定各节点的振幅值{X₀}，称为结构的振型。

1.5 主要观察指标 通过有限元软件对2种腰骶椎模型进行模拟仿真实验，比较由模态分析得到的频率及由谐响应分析得到的幅频特性曲线中位移幅值。

中国组织工程研究杂志出版内容重点：人工关节；骨植入物；脊柱；骨折；内固定；数字化骨科；组织工程

讨论

脊柱是人体的重要力学机构，对于维持人体的正常生理活动起非常重要的作用。腰椎是承重和活动范围最大的，也是脊柱类疾病的主要发病部位，因为腰椎承载了人体近2/3的质量，遭受外界环境激振后会产生持续时间较长的衰减振动导致其损伤。中国是劳动密集型社会，体力劳动者数量庞大，故脊柱类疾病的防治更应受到重视。

本研究基于健康人体脊柱腰骶椎的CT图像，结合医学图形处理软件Mimics 16.0进行三维重建，利用逆向工程软件Geomagic Studio12.0对模型进行光滑和优化处理， SolidWorks三维建模软件系统进行螺钉内固定系统的建模及有限元分析软件Abaqus建立了相对符合实际腰骶椎的三维有限元模型，并对其有效性进行验证，证明模型是有效的。并利用有限元分析软件Abaqus对固定前后腰骶椎模型进行模态分析和稳态动力学分析。其中腰骶椎的模态分析是进一步进行动力学分析的基础。

研究结果显示，内固定后腰骶椎模型的节点A，B，C在Y，Z方向上位移最大峰值比正常腰骶椎模型位移最大峰值均明显减小，表明螺钉内固定系统对腰骶椎部分起到了保护作用，使得固定后的腰骶椎在受到外界激励时振幅减小。内固定后腰骶椎模型比正常腰骶椎模型对外界振动敏感性减弱。两种模型在1.0-2.0 Hz频率范围内各节点X，Y，Z方向位移均出现峰值，表明腰骶椎结构对1.0-2 0 Hz频率范围比较敏感，腰骶椎结构在这些频率范围内容易产生共振，为避免发生共振，应尽量使人们所处环境的外界振动频率远离腰骶椎敏感频率范围。

本文建立了固定前后脊柱腰骶椎的三维有限元模型，将模型进行有限元分析，得出确定腰椎的固有频率、振型和振幅等振动参数。通过谐响应分析研究简谐载荷对人体脊柱腰骶椎L₁-S₁节段的影响。使用有限元进行分析，过程直观方便，模型各部分材料属性采用大多数文献经过验证合理的数值，得出的数据结果更为科学。由于建立模型和定义材料时做了一些简化处理，使得实验模型与实际人体模型还有些差距，但是利用简化的模型进行有限元分析得到的结果，代表了一定的趋势。本文建立的模型能够在一定程度上反映腰骶椎的生物力学特性，对于腰骶椎的振动特性分析方面具有重要意义。

中国组织工程研究杂志出版内容重点：人工关节；骨植入物；脊柱；骨折；内固定；数字化骨科；组织工程

三维有限元分析腰骶椎结构的动态特性

Dynamic characteristics of the lumbosacral vertebrae based on three-dimensional finite element models

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