2.1   正交实验结果及分析   正交实验是研究多因素多水平的一种试验设计方法，根据正交性从全面实验中挑选出部分有代表性的点进行实验，这些点具备“均匀分散，齐整可比”的特点，可以提高工作效率和寻求最优解。为了研究孔隙形状、尺寸以及支柱对单胞结构的力学性能的影响，确定此次实验单胞结构、支柱尺寸和孔径尺寸3个因素后，每个因素设计3个水平，因素水平表见表2。根据因素水平表，选择适合的3水平正交表L9(34)。"

根据所选的正交表对单胞结构进行数值模拟，得到固定端总合力FR，并计算出单胞结构的孔隙率及杨氏模量。正交实验结果见表3，可以看出3种单胞结构的杨氏模量在股骨端杨氏模量0.5-1.5 GPa之间，满足人体股骨杨氏模量的需求范围。同时，观察到每种单胞结构的杨氏模量随着孔隙所占比例增大，起承力作用的支柱材料变少，其抵抗变形的能力必然下降。"

极差R是一个统计指标，表示数据的离散程度，即表明某个因素的影响程度。采用极差分析能够较为直观地比看3个因素对股骨单胞结构杨氏模量的影响，并通过对比找出最优水平的实验方案[15-16]。此次正交实验的优水平因素主次顺序及极差结果见表4，5。"

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由表4可以得出，影响单胞结构杨氏模量的主次顺序为：支柱尺寸>孔径尺寸>结构类型。3个因素中支柱尺寸的极差较大，而孔径尺寸和结构类型的极差相差不大，这说明对单胞结构杨氏模量影响较大的是支柱尺寸。 由表5可知，在3个因素中影响单胞结构孔隙率的主次顺序为：支柱尺寸>结构类型>孔径尺寸。其中支柱尺寸的极差较大，采用极差分析能够较为直观地比看而其余两因素的极差相差不大，这说明对单胞结构杨氏模量影响较大的是支柱尺寸。 对正交实验进行方差分析，其结果如表6，7所示。由方差分析可知支柱尺寸对单胞结构杨氏模量的影响显著(P < 0.05)，孔径尺寸及结构类型对其的显著性不够明显；而3个因素均对单胞结构孔隙率有显著影响(P < 0.05)，且支柱尺寸对其的影响最为显著。"

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极差与方差分析结果均表明，支柱尺寸是影响单胞结构杨氏模量和孔隙率的关键因子。设计参数对力学性能的影响如图4所示，可以得出同样的结论。因此，优化单胞结构时首先要考虑支柱尺寸。"

2.2   近似模型的建立与分析   近似模型是通过数学模型来逼近一组输入变量与输出变量的方法，20世纪70年代，SCHMIT等在结构优化中首次引入近似模型的概念，收到了良好的效果[17]。响应面方法采用多项式函数拟合设计空间，它实用性强、适用范围广，具有良好的鲁棒性[18]。为了精确地拟合三因素激励参数与杨氏模量、孔隙率响应参数之间的关系，建立近似模型。该文以杨氏模量(E)和孔隙率(θ)作为响应输出，以结构类型(x1)、支柱尺寸(x2)和孔径尺寸(x3)作为输入变量，选择二阶响应面法建立近似模型，拟合结果如下： 杨氏模量响应面模型可以表示为： E=1.186-0.424×x1+4.228×x2-1.674×x3+0.129×x12              (3) 孔隙率响应面模型可以表示为： θ=49.319-23.991×x1-183.147×x2+62.955×x3-7.367×x12      (4) 杨氏模量响应面图如图5所示。"

对于所设计的3个模型而言，杨氏模量随着支柱尺寸的增加、孔径尺寸的减小而减小，结果表明几何参数与机械性能之间存在稳定但非线性的相关性。因此，可以通过减小孔径尺寸和增加支柱尺寸来提高杨氏模量。对于大多数参数组合，杨氏模量的结果均处于0.66-1.14 GPa之间，股骨近端的杨氏模量0.97 GPa[19]，最佳值在0.90-1.02 GPa，也即黄色与红色的过渡区间内。孔隙率响应面如图6所示，对于3种结构设计，孔隙率均随着支柱尺寸降低而增加，而在同一几何形状参数水平下，可以看到带孔板单胞结构孔隙率最大，圆柱孔单胞结构孔隙率最小。"

为了验证近似模型的准确性，该文建立响应面拟合效果图来判断近似模型精度的高低，将同一条件下采用近似模型获得的预测值设置为横坐标，有限元分析得到的计算值设置为纵坐标，对角线代表适应度，残差为零。确定性系数R2和均方根误差RMSE也可以反映近似模型的整体精度，其计算公式如下所示："

式中，n为正交实验的数量；yi为通过有限元计算的响应值；为近似模型下响应的预测值；yi为计算响应的均值。 响应面方法近似模型的拟合效果和精度分别见表8及图7所示，经分析可知：响应面方法近似模型中杨氏模量及孔隙率的拟合效果好，精度高，确定性系数均大于0.9，可以代替有限元进行后续优化设计。 "

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2.3   微孔结构优化设计   为了在最佳区间内寻求最佳杨氏模量参数应的结构参数，该文采用序列二次规划算法行优化设计。序列二次规划法将目标函数以二阶泰勒级数展开，把约束条件线性化，通过解二次规划得到设计点，主要是用来解决带有约束条件的非线性数学规划问题[20]。它在求解有约束非线性数学规划问题时，具有稳定、收敛快和易于得到全局最优解等优点[21]。以股骨近端松质骨杨氏模量为优化目标，其值为0.97 GPa[19]，以孔隙率为约束条件，将结构类型、支柱尺寸及孔径尺寸作为设计变量，进行对微孔结构的优化。其优化数学模型可定义为："

式中，E(x1,x2,x3)为微孔结构杨氏模量，θ(x1,Ex2,x3)为孔隙率，x1,x2,x3分别为结构类型、支柱尺寸及孔径尺寸。 采用序列二次规划算法梯度优化在优化空间寻求最优解，结合响应面方法近似模型，得到优化后参数，即最优参数为：单胞类型x1=1(支杆单胞)，支柱尺寸x2=0.220 863 mm，孔径尺寸x3=0.510 721 mm，孔隙率θ=57.644 97%，杨氏模量E=0.970 286 GPa。 为了验证优化后结果的可信度，对得到的设计参数采用有限元模拟，并通过计算出杨氏模量与孔隙率分别为1.05 GPa和55.42%，二者结果相差7.6%和4.01%。因此，采用响应面方法近似模型结合序列二次规划算法对微孔结构的优化结果是可信的。"