现有的有限角图像重建的方法主要分为两类：解析法和代数法。解析重建主要依靠滤波反投影算法如FDK算法，而迭代算法主要依靠的是代数重建法。 解析法的典型算法及其优缺点：1917年奥地利数学家Radon发表的论文[2]从数学上证明了二维或三维物体可通过其无限多个投影的集合惟一地重建出来，数学上称之为Radon变换理论。利用Radon变换理论可以快速重建高质量的三维图像，但是由于扫描轨迹的误差及C型臂自身的旋转运动特性，容易造成重建的图像出现伪像，噪声、辐射剂量以及投影数据采集的数量对图像重建的影响亦非常明显。 代数法的典型算法及其优缺点：与解析法不同，迭代重建算法所需的投影数少、在投影数据不足或者辐射剂量较低的情况下依然可以获得高质量的重建图像，但其缺点就是计算速度慢(计算量大)、需要的数据存储空间大，故多用于重建图像较小的成像环境下[3]。这些缺点严重制约了代数法的应用。下面将围绕解析法的应用进行探讨。 现有的锥形束算法基本上可以分为两大类：分析锥形束算法和迭代锥形束算法，迭代算法比分析算法占用更多的计算空间，因为在实际应用中进行图像重建时需要很高的速度，因此分析算法较适宜应用于基于C型臂2D投影图像的3D模型重建。分析算法又可以分为：精确重建算法和近似重建算法[4]，虽然精确锥束重建算法经过不断的改善在使用中取得了很好的效果，但该算法无论在实践中还是理论上仍有其重要价值，在投影数据是完整的、一致的、无噪声的理想情况下应当使用精确重建算法，然而测量的噪声、丢失的数据、患者的运动、数字化处理和造影剂的使用都对图像质量有相当影响，因此在多数实际应用的情况下，这些影响是很难避免的，所以近似重建算法的理论及思想对基于C型臂超短扫描路径锥束投影的图像合成有基础性的意义。 2.1 FDK算法应用的基本原理 FDK算法是一种基于圆轨道扫描的近似重建算法，由Feldkamp，Davis and Kress于1984年提出[5]。 FDK算法实际上是二维扇束滤波反投影算法在三维空间上类比推广的应用，它包括投影数据的预加权、一维滤波和反投影几个步骤：①首先利用类似于余弦的函数对投影数据进行加权滤波，适当地修正体素到源点的距离和角度差。②然后对不同投影角度的投影数据进行水平方向上的一维滤波。③最后沿X射线方向进行三维反投影(重投影过程也就是三维Radon变换)。重建的体素值是通过该体素的所有投影角度的射线的贡献之和[6]。只要锥角控制在一定的范围内(<+4°)，就可以将重建的模型与真实物体的误差减小到一定的程度。FDK算法由于其简单易行, 重建速度快，重建结果与真实值误差小，而且绝大数二维重建算法都可利用该推导思想获得相应的锥束重建算法，在医学领域得到越来越多的应用。 2.2 应用标准FDK算法进行有限角锥形束三维重建产生的问题及解决方法 FDK算法是一种基于圆轨道扫描的近似重建算法，直接对锥束投影数据进行滤波反投影重建。当利用DSA设备进行锥束重建时，C型臂的扫描轨迹无法满足锥束投影精确重建的充要条件，当锥角超过一定范围时误差逐渐增大，从而造成和增加了Radon数据的缺失，使重建结果出现了伪像，这些伪像也会通过Radon变换传递给基于圆轨道扫描的FDK算法，这也是近似重建算法需要在最大程度上减小误差的因素。所以在实际应用FDK算法进行有限角锥形束的三维重建中，FDK算法的缺点[7]：①被重建物体必须包含在一个球形区域内。②X射线源的扫描轨迹为圆形。为减小锥形束三维近似重建的误差，提高重建结果的质量，降低FDK算法给重建带来的误差，出现了一些由FDK算法衍生的重排类型算法。 2.2.1 P-FDK[8] Turbell利用FDK近似重建算法的思想通过对每列检测器采集的数据单独进行平行化重排，获得三维平行束投影数据，最后对重排后的数据进行重建。 2.2.2 T-FDK[9] Grass等人在P-FDK算法的基础上，沿虚拟检测器纵向方向对重排后的投影数据进一步的重排，将原来沿曲线方向进行的滤波改进为沿水平方向进行，进而提出T-FDK重建算法。 2.2.3 FDK- SLANT算法[10] 在重建过程中，通过将固定在某个投影视角上的一组发散平面族中每个平面与检测器的交线确定为投影数据的一条滤波线。由于它们倾斜于中平面，被称作为倾斜线。按照T-FDK算法将锥束投影数据重排为三维平行束投影后，FDK-SLANT算法沿着倾斜线方向对预权重后的投影数据进行滤波，然后依据相应的投影映射关系检索重建点的贡献值，进行相应的反投影运算，从而获得重建结果。 2.3 C型臂旋转运动特性及其X射线光锥特点 X射线由点光源发出，在有限的距离空间内射线的辐射形状呈锥束状，C型臂旋转运动不稳定，其中轴可绕轴心进行旋转运动，其转动范围约为大于180°而小于240°，因此，与中轴连接的C臂在空间形成圆弧扫描轨迹；C臂也可沿中轴内滑轨作旋转运动，旋转范围小于180°，可以产生短圆弧投影数据扫描轨迹[11]。 2.4 超短扫描轨迹的FDK类型锥束重建算法的基本原理 超短扫描轨迹的FDK类型锥束重建算法是通过将二维扇束重建算法推广到三维空间中而获得的。二维超短扫描重建算法主要有Noo等[12]和Kudo等[13]提出的两类算法。前者是基于一种平行束与扇束之间的重排运算关系而推导出的重建算法[14]，而后一种算法是通过降维Shift．variant锥束重建算法而得到的重建算法[13]。首先，用二维Radon逆变换(指对Radon数据依次进行Hilbert变换、偏导数以及反投影运算的数学过程)进行二维扇束重建，最后再利用三维Radon逆变换进行锥束重建。该算法除了思想简单及执行效率高等优点外，另一个重要的特性是几乎任意二维重建算法都可利用该推导思想获得相应的锥束重建算法。如果所需的扇束投影满足：①在对应的投影角度上获得的投影数据连续不间断。②通过感兴趣区域(Region of interest，ROI)内部的各直线方向上的点均被采集，即感兴趣区域最外围的点都在锥束扫描的范围之内。那么利用这些投影数据就可精确地重建物体内部的感兴趣区域。 2.5 超短扫描圆弧轨迹的锥束重建算法的优点 ①超短扫描轨迹的锥束重建算法可以对小于短扫描范围所采集到的锥束投影数据进行感兴趣区域重建，这种扫描方式能够有效减少对病灶部位使用的X射线的辐射剂量(只需获得重建部位的部分投影数据)和数据采集时间[15]。②与传统二维感兴趣区域的标准FDK重建算法相比，突破了轨迹要求为全周扫描或短扫描的限制，获得的数据较少使得它的计算量更小，从而使重建速度更快，更适合DSA设备如C型臂的圆弧扫描轨迹的重建[13]。③结合上文描述的C型臂旋转运动特性，可知C型臂旋转运动不稳定，获得的投影数据会出现缺失和只能获取部分投影数据等的问题。重排算法将锥束投影数据转换为三维平行束投影数据的步骤，必然会使重建结果出现因重排而引入伪像；并且仅仅拥有部分投影数据无法利用精确重建算法以及标准FDK算法进行锥束重建，而短扫描圆弧轨迹重建算法在获得部分投影数据的情况下即可进行重建。④超短扫描圆弧轨迹的锥束重建算法具备滤波反投影结构，因此可以对Radon数据进行斜滤波和反投影的数学计算。 2.6 Noo类型的超短扫描扇束重建算法与Kudo类型的超短扫描扇束重建算法的比较 随着对感兴趣区域的重建算法的研究不断的深入，出现了目前比较成熟的Noo类型与Kudo类型等等的超短扫描扇束重建算法(部分扫描重建算法)。本文主要针对上述两种算法的应用进行探讨。 2.6.1 Noo类型 Noo等提出了对感兴趣区域精确重建算法，利用斜滤波与Hilbert变换及导数运算之间的等价关系，建立起了扇束投影数据与平行束投影数据两种重排运算关系[16]。圆形轨迹是螺旋轨迹的一个特例，两者主要差别在于后者在绕转轴转动的同时又需要沿着转轴方向进行匀速平移运动。当螺距为零，轨迹退化为圆形轨迹[17]。超短扫描扇束重建算法是基于扇束和平行束投影数据的两种重排关系而获得的重建公式，在重建过程中相当于获得了平行束投影数据，利用T-FDK的推广思想，对锥束投影数据进行余弦校正，并且相应的矢量向三维空间中推广，进而获得相应的锥束重建公式。虽然Noo类型重建算法在理论上是精确的，误差几乎可以忽略，但重建过程中必须对获取的数据进行求导，而实际应用中C型臂获取数据的同时不可避免的掺杂了一些不需要的干扰数据，求导变换后，这些噪声数据的扩大对重建造成了很大的偏差[18]。所以该算法很难直接应用于C型臂等DSA设备中。 2.6.2 Kudo类型 鉴于上述Noo类型超短扫描扇束重建算法在理论上是可行但难于直接应用，Kudo等人改进了该算法，在一些文献中给出了超短扫描轨迹下FDK类型的锥束重建算法，提出了通过降维Shift．variant锥束重建算法而获得不同类型的重建算法。由于Hilbert变换的偏导与斜滤波运算是等价的，并Kudo等人将其算法进行分解重建公式，提出了适合圆形轨迹超短扫描的重建算法[19]。 对比：两者的主要差别在于Hilbert变换和偏导数的运算次序不同，因此，依据导数与积分的可互换序性，推测知这两种利用FDK重建思想而获得的两类锥束重建算法，在理论上它们的重建结果应该相近的，然而许多学者通过实验表明Kudo类型重建算法在很小的锥束重建范围内相对Noo类型重建算法具有更好的重建结果。Noo类型锥束算法比Kudo类型锥束算法的锥向重建范围要大。      "